โดย สร้างสรรค์ วรัคคกุล

 

มนุษย์เราต่างจากมดอยู่หลายอย่าง แต่สิ่งหนึ่งที่มนุษย์เราไม่เหมือนกับมด คือ มนุษย์สามารถ บอกความแตกต่างระหว่างโดนัทแบบมีรูกับไม่มีรูได้ แต่มดตัวจิ๋วนั้นเดินไปเรื่อย ๆ โดยที่ไม่มีทาง รู้เลยว่า ตรงกลางของโดนัทที่มันกำลังเดินอยู่นั้นมีรูหรือไม่!

 

ผมเป็นนักศึกษาระดับปริญญาเอก สาขาคณิตศาสตร์ครับ ไม่ว่าจะชี้ที่จุดไหนบนวัตถุที่ผมสนใจ ศึกษาในงานวิจัยนั้น ผมสามารถหามดที่ตัวเล็กพอมาวางได้ โดยที่มดตัวนั้นจะเห็นว่าพื้นที่รอบ ๆ ตัว มันดูราบเรียบเหมือนกันไปเสียหมด ไม่ว่าจะวัตถุใดไม่มีความแตกต่างกันเลย นักคณิตศาสตร์เรียก วัตถุที่มีคุณสมบัติเช่นนี้ว่า พื้นผิว (surface) สิ่งของหลายอย่างรอบ ๆ ตัวเรา ไม่ว่าจะเป็นแผ่นซีดี ลูกปิงปอง แก้วกาแฟ ก็ล้วนแต่เป็นวัตถุที่มีพื้นผิวทั้งสิ้น การบอกความแตกต่างของพื้นผิวของวัตถุ สองประเภทฟังดูเหมือนไม่ใช่เรื่องยากสำหรับมนุษย์ เพราะว่า ถึงเราจะหลับตาลง ก็คงยังบอกได้ จริงหรือเปล่าครับ? เพราะกว่าที่แฟ้มเก็บรูปบนสมาร์ทโฟนในปัจจุบันจะถูกพัฒนาให้มีศักยภาพ มากพอที่จะจำแนกแยกแยะรูปถ่ายของวัตถุต่าง ๆ ให้ง่ายต่อการสืบค้นหา หรือกว่าที่เราจะสร้างภาพ สองมิติเลียนแบบพื้นผิวสมองหลังการฉายรังสีอย่างมีความแม่นยำนั้น เราต้องใช้ฐานข้อมูลและ กรอบทฤษฎีต่าง ๆ เกี่ยวกับพื้นผิวที่นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบและวางรากฐานไว้เกือบร้อยปี

 

ทั้งนี้เป็นเพราะว่า ปัญหาของการจำแนกชนิดของพื้นผิวไม่ง่ายเหมือนอย่างที่คิดกันไว้ครับ เปลือกโลกเรานี้ก็ถือเป็นพื้นผิวหนึ่งในทางคณิตศาสตร์ อย่างที่เราทราบกันว่า มนุษย์เราก็เชื่อกันมา อย่างยาวนานว่า โลกนี้มีพื้นผิวแบบจานแบน จนมาถึงในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 16 มนุษย์ถึงยอมรับ ว่าโลกของเรามีพื้นผิวคล้ายทรงกลม มนุษย์เราก็คงเป็นเหมือนกับมดในกรณีนี้ครับ หรือแม้เพียงแค่ พื้นผิวขนาดเล็กลงมา อย่างสามรูปด้านล่างนี้ ถ้าหากถามผมว่า เหมือนหรือต่างกันหรือไม่ ผมเองก็คงต้องกุมขมับเป็นแน่

 

รูปที่ 1: พื้นผิวที่ซับซ้อนมากขึ้น

ในปี ค.ศ. 1895 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส อ็องรี ปวงกาเร (Henri Poincaré) นำไอเดียเชิงพีชคณิต (algebra) มาใช้ปฏิวัติแนวคิดของนักเรขาคณิตไปตลอดกาล เขาค้นพบว่า วิธีต่าง ๆ ที่เราร้อยเชือกบนพื้นผิวแท้จริงแล้วนั้น เปรียบเสมือนการเข้ารหัสอย่างหนึ่ง เพื่อเปลี่ยน พื้นผิวอันเป็นรูปทรงจับต้องได้ ให้กลายเป็นวัตถุนามธรรมอีกอย่างหนึ่งที่เรียกว่า ฟันดาเมนทัลกรุ๊ป (fundamental group) ที่เราสามารถนำมาใช้เพื่อจำแนกชนิดพื้นผิวต่างๆ ได้ ตัวอย่างหนึ่งคือ เราไม่มีทางร้อยเชือกกับลูกปิงปองได้ โดยไม่ต้องเจาะลูกปิงปองให้เสีย ในขณะที่เชือกที่ร้อยผ่าน หูแก้วกาแฟอย่างในรูปที่ 2 ไม่สามารถถูกแยกออกจากแก้วนั้นได้ โดยไม่ต้องตัดเชือกหรือทุบแก้ว เสียก่อน ฟันดาเมนทัลกรุ๊ปได้พิสูจน์ให้เห็นว่าแก้วกับลูกปิงปองเป็นพื้นผิวทางคณิตศาสตร์ที่ต่างกัน หากใช้ทฤษฎีของปวงกาเร เราก็ช่วยมดบอกความแตกต่างของพื้นผิวสามอันในรูปข้างบนได้ อย่างง่าย ด้วยการนับจำนวน “รู” บนพื้นผิวก็เท่านั้น! (ลูกปิงปองไม่มีรู แก้วมีหนึ่งรู และสำหรับสามรูปข้างบนนั้น จำนวนรูไม่เท่ากัน ดังนั้นไม่ใช่พื้นผิวเดียวกันครับ)

 

รูปที่ 2: ร้อยเชือกผ่านหูแก้วกาแฟ

 

เสียก็แต่ว่า ฟันดาเมนทัลกรุ๊ปก็ยังคงเป็นตะแกรงที่หยาบอยู่ เพราะมันไม่สนใจว่าเรา จะแปรรูปพื้นผิวย่อขยายอย่างไรก็ได้ ตราบใดที่เราไม่ฉีกมันให้ขาดออกจากกัน ทำให้มันไม่สามารถจำแนกรูปทรงต่าง ๆ ได้ละเอียดเพียงพอ ในตัวอย่างของพื้นผิวทั้งสี่ในรูปที่ 3 ด้านล่างนี้ มีฟันดาเมนทัลกรุ๊ปเดียวกันทั้งหมด เพราะต่างก็มีสองรู เป็นเสมือนลูกโป่งหมายเลข 8 ที่ถูกสูบลมเข้ามากน้อยต่างที่กันเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้นใบหน้าของคนทุกคนต่างก็มี

รูปที่ 3 พื้นผิวที่ซับซ้อนมากขึ้น

 

ฟันดาเมนทัลกรุ๊ปเหมือนกันหมด ฟังดูแล้ว นักคณิตศาสตร์น่าจะยังคงต้องการตัวกรองที่ละเอียด กว่านี้ เพื่อใช้อธิบายชนิดต่างๆของพื้นผิว แต่อย่าลืมครับว่าเราสามารถใช้สายวัดระยะระหว่างจุด สองจุดบนพื้นผิวแต่ละอันได้ คราวนี้มุมมองของมดจะมีประโยชน์ในการช่วยเราวิเคราะห์พื้นผิวหนึ่งๆ เพราะถ้าหากมดต้องเดินหาอาหารบนพื้นผิวนี้ มันก็คงจะต้องเลือกเดินไปทางที่ย่นระยะให้สั้นที่สุด นั่นหมายความว่า หากมดรู้ระยะทางระหว่างสองจุดใดๆ บนพื้นผิว มันคงจะสันนิษฐานได้อย่างคร่าวๆ ว่า พื้นผิวไหนในสี่อันนี้ เป็นที่ที่มันอาศัยอยู่กันแน่ และที่น่าทึ่งไปกว่านั้นคือ ในกรณีตัวอย่างตามรูปที่ 3 หากเราสามารถให้มดจดระยะที่มันเดินตามวงกลมบนพื้นผิวนี้เพียงแค่ 9 วง เราก็จะช่วยมดตัดสินใจได้ทันทีว่า จากในสี่แบบนี้ พื้นผิวที่มันเป็นอันไหนกันแน่!

 

ผมศึกษาพื้นผิวทางคณิตศาสตร์ที่มีโครงสร้างแบบไฮเปอร์โบลิก (hyperbolic surfaces) ครับ ซึ่งหมายความว่า ผมมีมาตรวัดที่ชื่อว่า ไฮเปอร์โบลิก (hyperbolic metric) เพื่อบอกระยะทาง ระหว่างสองจุดบนพื้นผิวได้ ระยะทางแบบนี้อาจจะ “หลอกตา” เราครับ เพราะว่าตามระยะทางที่วัดตามแบบนี้แล้ว จุดสองจุดอาจอยู่ไกลหรือใกล้กว่าที่เราสังเกตเห็นก็เป็นได้ แม้ฟังดูเหมือนจะประหลาด แต่มาตรวัดนี้ก็เป็นที่ยอมรับโดยนักคณิตศาสตร์ว่าเป็นธรรมชาติในพื้นผิวที่มีอย่างน้อยสองรู ในงานของผมเองนั้น ผมไม่ได้เจาะจงดูที่พื้นผิวใดพื้นผิวหนึ่งโดยเฉพาะ แต่ว่าผมศึกษาความสัมพันธ์ ระหว่างพื้นผิวแบบไฮเปอร์โบลิกทั้งหมด เหมือนกับท่ีปวงกาเรได้บุกเบิกไว้เมื่อร้อยกว่าปี ผมเอง ก็ใช้เครื่องมือทางพีชคณิตเพื่อนำมาอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ทางเรขาคณิต คุณสมบัติหนึ่งที่ ผมพบก็คือ เรามีวิธีการบิดแปรเปลี่ยนรูปร่างพื้นผิวหนึ่งเพื่อเปลี่ยนให้เป็นอีกพื้นผิวหนึ่งได้อย่างเสมอ แต่ทว่าในมิติที่สามขึ้นไปนั้น กลับกลายเป็นว่า เราไม่สามารถแปรสภาพวัตถุไฮเปอร์โบลิกให้เป็น แบบอื่นได้เลย!

 

แม้พื้นผิวอาจดูเหมือนเรื่องของโลกที่ไกลจากตัวเรา แต่มันก็กลับกลายเป็นหนึ่งในกลไกที่ ขับเคลื่อนเทคโนโลยีในปัจจุบัน โลกของคณิตศาสตร์ยังคงมีอีกหลายมุม เปิดกว้างและต้อนรับ สำหรับคนที่สนใจมาค้นหา และรอให้คนที่เห็นคุณค่ามาเอาไปประยุกต์ใช้ประโยชน์ต่อไป

 

ที่มาของรูปประกอบ

รูปที่ 1: รูปที่ 14 ใน Faniry Razafindrazaka and Konrad Polthier. Realization of Regular Maps Large Genus, pages 239 – 252. Springer Berlin Heidelberg, 2015.

รูปที่ 2: รูปจากตารางที่ 5 ใน F. Luo, M. Jin, W. Zeng, and X. Gu. Computing Teichüller Shape Space. IEEE Transactions on Visualization & Computer Graphics, 15:504–517, 09 2008


สร้างสรรค์ วรัคคกุล (ตี๋) (Sangsan Warakkagun)
นักเรียนทุน พสวท. ระดับปริญญาเอก
ชั้นปีที่ 3 สาขาคณิตศาสตร์
Boston College, Massachusetts

 

One thought on “บทความพิเศษจากนักเรียนทุนรัฐบาลไทย: เรื่องของพื้นผิวที่ไม่ผิวเผิน”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *